領域について。 - yoshikemの第二反駁

このカテゴリでエントリ書くのも結構久しぶりだな〜。久々に高校数学の問題を、ちょっとしたつてで手に入れたのを解いたので、記録記録。
高校数学の問題ってのはやっぱり面白いと思います、結構。ものにより。イプシロン-デルタとかより楽しい、って言ってる僕には多分数学系に行く資格及び素質がありません。

領域A,Bを次のように定義する。
$\{ A=(x,y) \quad | \quad y \le -(x-1)^2 \quad \cup \quad y \le -(x+1)^2\}$
$\{ B=(x,y) \quad | \quad y \ge (x-a)^2+b \}$
AとBが共有点を持つ為のa,bの条件を定め図示せよ。

解

領域が共有点を持つということは、xの値がいくつでも良いから、とにかくB上の点がAを決める式より下になる事が出来れば良い。
ということは、【Bの式 $\le$ Aの式】という形で連立して、xが実数解を持てばよい。共有点を持つ＝連立して実数解というのは結構良くあるパターン。
Aの前半とBを連立させると（展開済みで）
$x^2 -2ax +a^2 +b \le -x^2 +2x -1$ 　これを整理して
$2x^2 -2(a+1)x +a^2 +b +1 \le 0$ 　これが実数解を持つa,bの条件を定めればOK。放物線が負またはゼロになる条件と言えば判別式Dと言うヤツです。判別式がゼロ以上ならOKでしたね。
$D/4 = (a+1)^2 -2(a^2 +b +1) \ge 0$ 　これを整理してちょこっと変形すると。 $b \le - \frac{1}{2} (a-1)^2$ ……(1)
同様に、Aの後半部分とBを連立させて変形してみましょう。大体予想つくかも知れないけど；
$x^2 -2ax +a^2 +b \le -x^2 -2x -1$ 　これを整理して
$2x^2 -2(a-1)x +a^2 +b +1 \le 0$ 　判別式をとると。
$D/4 = (a-1)^2 -2(a^2 +b +1) \ge 0$ 　それで。 $b \le - \frac{1}{2} (a+1)^2$ ……(2)
解となる図
結局(1)または(2)を満たす(a,b)なら題意を満たすことになります。（Aの条件付けがorなので解もorが引き継がれた形になる）
てことで、それを図示してみたのが図です。これが答えって事になるかな。確か高校数学は細かいから「但し境界線上を含む」とかいう但し書きが必要なはず。

さて、ちょっと落ち着いて考えてみましょうか。大雑把に解を検討してみるのは重要なことです。
$y=(x-a)^2 +b$ はaが大きくなればなるほどx-y平面上で右へ右へと移っていきますよね。と言うことは、放物線全体を下へ下げてやらないとAの領域と交わってくれそうにないです。今回出た解を見ると、確かにaが大きくなれば切片のbは小さくなってますから、OKっぽいですね。
aを小さくした時を考えても一緒です。左右対称で綺麗にもなってるし、大丈夫っぽい。これで安心して答案を出せるってもんですね。

さて、後二問ほどあるけど、とりあえず寝よう。実は残り二問の方が強敵っぽい。大学生の鈍りきった脳で解けるかなぁ……？
ところで、検討はしてみたものの……、間違ってないよなぁ……。これ外してたら無茶苦茶恥ずかしいし。